Bước 1 — Sơ đồ lời giải.
Điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $\Delta$ khi $\Delta$ là trung trực của $MM'$. Ta làm 3 bước:
1) Viết đường thẳng $d$ qua $M$ và VUÔNG GÓC với $\Delta$.
2) Tìm hình chiếu $H = d \cap \Delta$ (giao điểm).
3) $H$ là trung điểm $MM'$ ⇒ $M' = 2H - M$.
Bước 2 — Viết $d$ qua $M$, vuông góc $\Delta$.
$\Delta$ có VTPT $\vec n_\Delta = (2; 1)$. Vì $d \perp \Delta$ nên $\vec n_\Delta$ là VTCP của $d$, suy ra $d$ có VTPT $(-1; 2)$.
$d$ qua $M(-3; -1)$: $-x + 2y - 1 = 0$.
Bước 3 — Tìm hình chiếu $H = d \cap \Delta$.
Giải hệ $\begin{cases} 2x + y - 3 = 0 \\ -x + 2y - 1 = 0 \end{cases}$ ta được $H(1; 1)$.
(Kiểm tra: thay vào $\Delta$: $(2)(1) + 1 - 3 = 0 = 0$ ✓.)
Bước 4 — Lấy đối xứng qua trung điểm $H$.
$H$ là trung điểm $MM'$ nên:
$x_{M'} = 2x_H - x_M = 2\cdot(1) + 3 = 5$,
$y_{M'} = 2y_H - y_M = 2\cdot(1) + 1 = 3$.
Kết luận: $M'(5; 3)$.