Bước 1 — Kiểm tra vị trí và chọn hướng giải.
Thay $A$ vào vế trái $\Delta$: $(1)(3) - 1 - 4 = -2$; thay $B$: $(1)(-1) + 1 - 4 = -4$. Hai giá trị CÙNG DẤU nên $A, B$ cùng phía $\Delta$. Do đó đoạn $AB$ KHÔNG cắt $\Delta$ — không thể lấy $M$ là giao của $AB$ với $\Delta$, phải dùng PHÉP ĐỐI XỨNG.
Bước 2 — Lấy $A'$ đối xứng $A$ qua $\Delta$.
$\Delta$ có VTPT $\vec n = (1; -1)$. Đường thẳng $d$ qua $A$, vuông góc $\Delta$ cắt $\Delta$ tại hình chiếu $H(4; 0)$; lấy $A'$ đối xứng $A$ qua $H$:
$A'(5; -1)$.
(Kiểm tra $H$ là trung điểm $AA'$: $\left(\dfrac{3 + 5}{2}; \dfrac{1 - 1}{2}\right) = (4; 0)$ ✓.)
Bước 3 — Lập luận cực trị.
Với mọi $M \in \Delta$ ta có $MA = MA'$ (vì $\Delta$ là trung trực $AA'$). Suy ra:
$MA + MB = MA' + MB \ge A'B$ (bất đẳng thức tam giác).
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow M$ nằm trên đoạn $A'B$, tức $M$ là GIAO ĐIỂM của đường thẳng $A'B$ với $\Delta$ (vì $A', B$ khác phía $\Delta$ nên $A'B$ cắt $\Delta$).
Bước 4 — Tìm $M = A'B \cap \Delta$.
Đường thẳng $A'B$ qua $A'(5; -1)$ và $B(-1; -1)$ có phương trình $y + 1 = 0$.
Giải hệ $\begin{cases} x - y - 4 = 0 \\ y + 1 = 0 \end{cases}$ được $M(3; -1)$.
(Kiểm tra $M \in \Delta$: $(1)(3) + 1 - 4 = 0$ ✓.)
Kết luận: $M(3; -1)$, khi đó $(MA + MB)_{\min} = A'B = 6$.