Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x - a\sqrt{x} + b$ bằng cách đặt ẩn phụ.

Bước 1 — Đặt ẩn phụ.
Đặt $t = \sqrt{x}$. Vì căn bậc hai số học không âm nên $t \geq 0$.
Khi đó $P = t^2 - 12t + 8$ (tam thức bậc hai theo $t$).

Bước 2 — Hoàn thành bình phương.
$P = t^2 - 12t + 8 = \left(t - 6\right)^2 - 36 + 8 = \left(t - 6\right)^2 - 28$.
(vì $\dfrac{12}{2} = 6$ và $6^2 = 36$).

Bước 3 — Biện luận miền $t \geq 0$.
Đỉnh đạt tại $t = 6$. Vì $6 \geq 0$ nên đỉnh NẰM TRONG miền $t \geq 0$, do đó $\left(t - 6\right)^2 \geq 0$ có thể bằng $0$. Suy ra $P \geq -28$.

Bước 4 — Dấu bằng.
$P = -28$ khi $t = 6$, tức $\sqrt{x} = 6 \Leftrightarrow x = 36$ (thoả $x \geq 0$). Thay lại: $P = 36 - 12\cdot6 + 8 = -28$ ✓.

Kết luận: giá trị nhỏ nhất của $P$ là $-28$ (tại $x = 36$).