Bước 1 — Dùng số trung bình lập phương trình tổng.
Số trung bình: $\bar x = \dfrac{1}{n}\sum x_i$ với $n = 5$.
$\Rightarrow (1, 6, 10) + a + b = n\bar x = 5\cdot 8 = 40$.
Tổng 3 số đã biết là $1 + 6 + 10 = 17$, nên
$a + b = 40 - 17 = 23.$ (1)
Bước 2 — Dùng phương sai để tìm $a^2 + b^2$.
Áp dụng hằng đẳng thức tính nhanh phương sai:
$S^2 = \dfrac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar x^2 \;\Rightarrow\; \sum x_i^2 = n\,(S^2 + \bar x^2)$.
$\sum x_i^2 = 5\,(\dfrac{86}{5} + 8^2) = 406$.
Mà tổng bình phương 3 số đã biết là $1^2 + 6^2 + 10^2 = 137$, nên
$a^2 + b^2 = 406 - 137 = 269.$ (2)
Bước 3 — Tính tích $ab$ rồi đưa về phương trình bậc hai.
Từ $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ ta có
$ab = \dfrac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{2} = \dfrac{23^2 - 269}{2} = 130.$ (3)
Vậy $a, b$ là hai nghiệm của phương trình $t^2 - 23\,t + 130 = 0$.
Bước 4 — Giải phương trình và chọn nghiệm.
Biệt thức $\Delta = 23^2 - 4\cdot 130 = 9 = 3^2 > 0$.
Hai nghiệm: $t = \dfrac{23 \pm 3}{2}$ $\Rightarrow t = 10$ hoặc $t = 13$.
Do $a < b$ nên $a = 10$, $b = 13$.
Kết luận: $a = 10$, $b = 13$.
Lưu ý: các bộ số có cùng tổng (ví dụ chia đôi tổng) đều thoả số trung bình nhưng KHÔNG thoả phương sai — phải dùng cả hai điều kiện.