Bước 1 — Hai ràng buộc.
Với bảng ghép nhóm, ta dùng giá trị đại diện $x_i$ (trung điểm) của mỗi nhóm. Có hai dữ kiện:
• Tổng tần số bằng cỡ mẫu: $\sum n_i = N$.
• Trung bình: $\bar x = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$.
Hai tần số chưa biết $\Rightarrow$ lập HỆ hai phương trình hai ẩn $p, q$.
Bước 2 — Giá trị đại diện các nhóm: $5, 15, 25, 35$. Nhóm chứa $p$ có $x = 25$, nhóm chứa $q$ có $x = 5$.
Bước 3 — Phương trình tổng tần số:
$p + q + 13 = 25 \Rightarrow p + q = 12.$ (1)
Bước 4 — Phương trình trung bình:
$\dfrac{25p + 5q + (15\cdot 6 + 35\cdot 7)}{25} = 23$
$\Rightarrow 25p + 5q + 335 = 23\cdot 25 = 575$
$\Rightarrow 25p + 5q = 240.$ (2)
Bước 5 — Giải hệ. Từ (1): $p = 12 - q$. Thay vào (2):
$25(12 - q) + 5q = 240$ $\Rightarrow (5 - 25)q = 240 - 25\cdot 12 = -60$ $\Rightarrow q = 3.$
Suy ra $p = 12 - 3 = 9$.
Kết luận: $(p; q) = (9; 3)$ (đều là số nguyên dương, thoả cả tổng tần số và trung bình).