$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{Nhóm} & [0;10) & [10;20) & [20;30) & [30;40) \\\hline \text{Tần số} & x & y & 13 & 3 \\\hline \end{array}$$
Biết tổng số phần tử của mẫu là $N = 25$ và số trung bình của mẫu (tính theo giá trị đại diện) bằng $\bar x = 21{,}4$. Tìm $x$ và $y$.
Bước 1 — Giá trị đại diện mỗi nhóm (trung điểm $(a+b)/2$):
$m_1 = 5,\ m_2 = 15,\ m_3 = 25,\ m_4 = 35$.
Hai tần số chưa biết là $x$ (nhóm $[0;10)$, đại diện $5$) và $y$ (nhóm $[10;20)$, đại diện $15$).
Bước 2 — Phương trình từ tổng tần số.
$\sum n_i = N \Rightarrow x + y + (13 + 3) = 25$
$\Rightarrow x + y = 25 - 16 = 9.\qquad (1)$
Bước 3 — Phương trình từ số trung bình.
$\bar x = \dfrac{\sum m_i n_i}{N} \Rightarrow \sum m_i n_i = \bar x \cdot N$.
$\Rightarrow 5x + 15y + (25\cdot 13 + 35\cdot 3) = 21{,}4\cdot 25 = 535$
$\Rightarrow 5x + 15y = 535 - 430 = 105.\qquad (2)$
Bước 4 — Giải hệ.
Từ $(1)$: $y = 9 - x$. Thế vào $(2)$:
$5x + 15(9 - x) = 105 \Rightarrow (5 - 15)x = 105 - 15\cdot 9 \Rightarrow x = 3$.
Suy ra $y = 9 - 3 = 6$.
Bước 5 — Kiểm tra.
Tổng tần số: $3 + 6 + (13 + 3) = 25$ (đúng). Trung bình: $\dfrac{5\cdot 3 + 15\cdot 6 + (25\cdot 13 + 35\cdot 3)}{25} = 21{,}4$ (đúng).
Kết luận: $x = 3,\ y = 6$.