Tìm số nguyên $m$ lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) sao cho hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bước 1 — Điều kiện hàm bậc 3 đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Hàm $y = ax^3 + \ldots$ với $a > 0$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ⇔ $y' \geq 0\ \forall x \in \mathbb{R}$.
Do $y'$ là tam thức bậc 2 hệ số đầu dương, điều này ⇔ $\Delta' \leq 0$.

Bước 2 — Tính $y'$ và $\Delta'$.
$y' = 3x^2 + 6mx + 3 \cdot 1$.
$\Delta' = (3m)^2 - 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9m^2 - 9 \cdot 1$.

Bước 3 — Giải bất phương trình.
$9m^2 - 9 \cdot 1 \leq 0 \Leftrightarrow m^2 \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq m \leq 1$.

Bước 4 — Chọn số nguyên lớn nhất.
Trong $[-1; 1]$, số nguyên lớn nhất là $m = 1$.

Kết luận: $m = 1$.