Bước 1 — Đặt ẩn và viết liên hợp.
Gọi $z = x + yi$ với $x, y \in \mathbb{R}$, suy ra $\bar z = x - yi$. Lưu ý hệ số ở đây là số phức, nên không thể chia trực tiếp như khi hệ số thực.
Bước 2 — Nhân hai số phức (dùng $i^2 = -1$).
$(-1 + 2i)z = (-1 + 2i)(x+yi) = (-x - 2y) + (-y + 2x)i$.
$(-3 + i)\bar z = (-3 + i)(x-yi) = (-3x + y) + (x + 3y)i$.
Bước 3 — Cộng lại, gom phần thực và phần ảo.
Phần thực: $-4x - y$.
Phần ảo: $3x + 2y$.
Vậy vế trái $= \big[-4x - y\big] + \big[3x + 2y\big]i$.
Bước 4 — Đồng nhất với vế phải $-7 + 4i$ → lập hệ.
Hai số phức bằng nhau ⇔ phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo:
$\begin{cases} -4x - y = -7 \\ 3x + 2y = 4 \end{cases}$
Đây là hệ bậc nhất hai ẩn LIÊN KẾT (mỗi phương trình chứa cả $x$ và $y$).
Bước 5 — Giải hệ bằng định thức (Cramer).
$D = (-4)(2) + 3 = -5$ $\big(= |(-1 + 2i)|^2 - |(-3 + i)|^2 \neq 0\big)$.
$x = \dfrac{(-7)(2) + 4}{-5} = \dfrac{-10}{-5} = 2$.
$y = \dfrac{(-4)(4) + 21}{-5} = \dfrac{5}{-5} = -1$.
Kết luận: $z = 2 - i$.