Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: km), tại thời điểm $t = 0$ vật $A$ ở vị trí $A_0(4; -2; -3)$ và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\vec{v}_A = (1; 2; 3)$ (km/giờ); vật $B$ ở vị trí $B_0(3; 3; -2)$ với vectơ vận tốc $\vec{v}_B = (1; 1; 2)$ (km/giờ). Tìm thời điểm $t$ (giờ) mà khoảng cách giữa hai vật là nhỏ nhất.
ĐÁP ÁN
3
LỜI GIẢI
Bước 1 — Viết vị trí và vectơ nối hai vật.
$A(t) = A_0 + \vec{v}_A\,t$, $B(t) = B_0 + \vec{v}_B\,t$.
Đặt $\vec{w}(t) = \overrightarrow{A(t)B(t)} = \vec{w}_0 + \Delta\vec{v}\,t$ với $\vec{w}_0 = B_0 - A_0 = (-1; 5; 1)$ và $\Delta\vec{v} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (0; -1; -1)$.
Bước 2 — Bình phương khoảng cách là tam thức bậc hai theo $t$.
$d^2(t) = |\vec{w}_0|^2 + 2(\vec{w}_0\cdot\Delta\vec{v})\,t + |\Delta\vec{v}|^2\,t^2$
$= 27 + 2\cdot(-6)\,t + 2\,t^2$.
Bước 3 — Hoành độ đỉnh parabol.
Vì hệ số $t^2$ dương, $d^2(t)$ nhỏ nhất tại đỉnh:
$t^* = -\dfrac{\vec{w}_0\cdot\Delta\vec{v}}{|\Delta\vec{v}|^2} = -\dfrac{-6}{2} = 3$ (giờ).
Kết luận: Hai vật gần nhau nhất tại $t = 3$ giờ.
60% trả lời đúng
174 đúng · 118 sai