Tính $P=\log_{\sqrt{a}}\left(a^k\cdot\sqrt{a}\right)$.

Bước 1 — Đưa cơ số và đối số về lũy thừa của $a$.
$\sqrt{a}=a^{\frac12}$ nên cơ số là $a^{p}$ với $p=\dfrac12$.
Đối số: $a^{2}\cdot\sqrt{a}=a^{2}\cdot a^{\frac12}=a^{2+\frac12}=a^{q}$ với $q=\dfrac{5}{2}$.

Bước 2 — Công thức $\log_{a^p}(a^q)=\dfrac{q}{p}$.
$\log_{a^p}(a^q)=\dfrac{q\,\log a}{p\,\log a}=\dfrac{q}{p}$ (đổi cơ số rồi rút gọn $\log a$).

Bước 3 — Thay số:
$P=\dfrac{q}{p}=\dfrac{\dfrac{5}{2}}{\frac12}=5$.

Kết luận: $P=5$.