Tính $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \dfrac{\pi a^2}{4}$ (1/4 hình tròn).

Bước 1 — Đổi biến lượng giác.
Khi tích phân chứa $\sqrt{a^2 - x^2}$, đặt $x = a\sin t$ với $t \in [-\pi/2; \pi/2]$.
Khi đó $\sqrt{a^2 - x^2} = a|\cos t| = a\cos t$, $dx = a\cos t\,dt$.

Bước 2 — Đổi biến và đổi cận.
$x = 2\sin t$, $dx = 2\cos t\,dt$.
$x = 0 \to t = 0$; $x = 2 \to t = \pi/2$.

Bước 3 — Tính tích phân.
$I = \int_0^{\pi/2} 2\cos t \cdot 2\cos t\,dt = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2 t\,dt = 4 \cdot \dfrac{\pi}{4} = \pi$.

Kết luận (hình học): $I$ là diện tích 1/4 hình tròn bán kính $2$ ⇒ $I = \dfrac{\pi 2^2}{4} = \pi$.