Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} 4 & \text{khi } x\le 1 \\ 2x + 2 & \text{khi } x> 1 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(0)=2$. Tính $F(3)$.
A
$F(3) = 16$
B
$F(3) = 14$
C
$F(3) = 18$
✓
D
$F(3) = 17$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Nguyên hàm trên TỪNG nhánh (mỗi nhánh một hằng số).
Với $x \le 1$: $f(x) = 4$ nên $F(x) = F_1(x) = 4x + C_1$.
Với $x > 1$: $f(x) = 2x + 2$ nên $F(x) = F_2(x) = x^2 + 2x + C_2$.
(Hai hằng số $C_1, C_2$ KHÁC nhau, sẽ ràng buộc ở Bước 3.)
Bước 2 — Dùng $F(0) = 2$ để tìm $C_1$.
Vì $x_a = 0 \le 1$ nên thay vào nhánh trái: $F_1(0) = 4\cdot 0 + C_1 = 2 \Rightarrow C_1 = 2$.
Bước 3 — ĐIỀU KIỆN $F$ liên tục tại $x_0 = 1$ (mấu chốt!).
$F$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ nên $F$ liên tục, do đó $F_1(1) = F_2(1)$:
$F_1(1) = 4\cdot 1 + C_1 = 6$ và $F_2(1) = 3 + C_2$.
$\Rightarrow 6 = 3 + C_2 \Rightarrow C_2 = 3$.
Bước 4 — Thay $x_b = 3 > 1$ vào nhánh phải $F_2$.
$F(3) = 1\cdot 3^2 + 2\cdot 3 + 3 = 18$.
Kết luận: $F(3) = 18$.
63% trả lời đúng
522 đúng · 306 sai