Tính tích phân $I = \displaystyle\int_{2}^{3} \dfrac{1}{(x + 1)(x - (1))}\,dx$.
A
$I = \log{\left(\dfrac{3}{2} \right)}$
B
$I = - \dfrac{\log{\left(3 \right)}}{2} + \dfrac{\log{\left(2 \right)}}{2}$
C
$I = - \dfrac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \dfrac{\log{\left(3 \right)}}{2}$
✓
D
$I = \dfrac{\log{\left(6 \right)}}{2}$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Phương pháp phân tích phân số đơn giản.
$\dfrac{1}{(x-a)(x-b)} = \dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x-b} - \dfrac{1}{x-a}\right)$ (với $a \ne b$).
Lợi thế: mỗi phần dạng $\dfrac{1}{x-c}$ nguyên hàm là $\ln|x-c|$.
Bước 2 — Phân tích nhân tử và áp dụng công thức.
$\dfrac{1}{(x + 1)(x - 1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)$.
Bước 3 — Tích phân và thay cận.
Nguyên hàm: $\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x - 1}{x + 1}\right|$.
Thay cận từ $2$ đến $3$ ⇒ $I = - \dfrac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \dfrac{\log{\left(3 \right)}}{2}$.
Kết luận: $I = - \dfrac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \dfrac{\log{\left(3 \right)}}{2}$.
67% trả lời đúng
530 đúng · 264 sai