Bước 1 — Đặt ẩn phụ và tính tổng, tích hai số dưới căn.
Đặt $u = 81 + 33\sqrt{6}$ và $v = 81 - 33\sqrt{6}$ thì $x = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}$.
$u + v = 162$ và $u\cdot v = 81^2 - (33\sqrt{6})^2 = 6561 - 6534 = 27 = 3^3$.
Do đó $\sqrt[3]{(81 + 33\sqrt{6})(81 - 33\sqrt{6})} = \sqrt[3]{27} = 3$ (một số nguyên — đây là mấu chốt).
Bước 2 — Lập phương hai vế bằng hằng đẳng thức lập phương của tổng.
$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ với $a = \sqrt[3]{u},\, b = \sqrt[3]{v}$:
$x^3 = u + v + 3\sqrt[3]{uv}\,(\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}) = 162 + 3\cdot3\cdot x = 162 + 9x$.
Suy ra phương trình $x^3 - 9x - 162 = 0$.
Bước 3 — Phân tích nhân tử, tìm nghiệm nguyên.
Nhẩm thấy $x = 6$ thoả: $6^3 - 9\cdot6 - 162 = 216 - 54 - 162 = 0$. Tách nhân tử:
$x^3 - 9x - 162 = (x - 6)\,(x^2 + 6x + 27)$.
Bước 4 — Khẳng định nghiệm duy nhất.
Tam thức $x^2 + 6x + 27$ có $\Delta = 6^2 - 4\cdot(27) = -72 < 0$ nên vô nghiệm thực. Vì $x = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}$ là một số thực xác định, nó phải là nghiệm thực duy nhất của phương trình.
Kết luận: $x = 6$.