Một công trình nổi tiếng có dạng là một phần của mặt cầu với đường kính $110$ m và chiều cao bên trong $80$ m. Giả sử toà nhà được mô phỏng bởi một mặt cầu $(S)$ đặt trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ có tâm $I$, đường kính $110$ m và $OA=80$ m (với $A$ là đỉnh toà nhà trên trục $Oz$). Biết rằng mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, đơn vị trên trục là m. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
A)
Tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ $I(0; 0; 25)$.
Đúng
B)
Phương trình của mặt cầu $(S)$ là $(x - 25)^2 + y^2 + z^2 = 3025$.
Sai
C)
Mặt sàn của toà nhà là một hình tròn có diện tích bằng $7\,540\ \text{m}^2$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đúng
D)
Thể tích của toà nhà trên bằng $570\,000\ \text{m}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Đúng
LỜI GIẢI
A) Đúng. Bán kính $R=\dfrac{D}{2}=\dfrac{110}{2}=55$; đỉnh toà nhà ở độ cao $OA=80$ nên tâm nằm thấp hơn đỉnh đúng $R$: $z_I=80-55=25$, tức $I(0; 0; 25)$.
B) Sai. Tâm $I(0; 0; 25)$ nằm trên trục $Oz$ nên phương trình đúng là $x^2 + y^2 + (z - 25)^2 = 3025$ — mệnh đề đặt hằng số nhầm sang trục $x$ nên SAI.
C) Đúng. Mặt sàn ở $z=0$, bán kính $r$ thỏa $r^2=R^2-z_I^2=3025-625=2400$; diện tích $S=\pi r^2\approx 7\,540\ \text{m}^2$ ⇒ đúng.
D) Đúng. Toà nhà là chỏm cầu chiều cao $h=80$ của mặt cầu bán kính $R=55$: $V=\pi h^2\left(R-\dfrac{h}{3}\right)=\pi\cdot80^2\left(55-\dfrac{80}{3}\right)\approx 570\,000\ \text{m}^3$ ⇒ đúng.
73% trả lời đúng
280 đúng · 103 sai