Bước 1 — Biểu diễn chiều cao theo ràng buộc thể tích.
Gọi $h$ là chiều cao bồn. Đáy vuông cạnh $x$ nên thể tích $x^2h=V=62,5\Rightarrow h=\dfrac{V}{x^2}=\dfrac{62,5}{x^2}$.
Bước 2 — Lập hàm diện tích tôn.
Bồn KHÔNG nắp nên chỉ tính đáy và 4 thành (không cộng thêm $x^2$ ở nắp):
$S(x)=\underbrace{x^2}_{\text{đáy}}+\underbrace{4xh}_{4\text{ thành}}=x^2+4x\cdot\dfrac{V}{x^2}=x^2+\dfrac{4V}{x}=x^2+\dfrac{250}{x}\quad(x>0).$
Bước 3 — Tìm điểm dừng (hoặc dùng AM-GM).
$S'(x)=2x-\dfrac{4V}{x^2}=0\Rightarrow 2x^3=4V\Rightarrow x^3=2V=125\Rightarrow x=\sqrt[3]{2V}=\sqrt[3]{125}=5$ m.
(Có thể dùng AM-GM: $S=x^2+\dfrac{2V}{x}+\dfrac{2V}{x}\ge 3\sqrt[3]{x^2\cdot\dfrac{2V}{x}\cdot\dfrac{2V}{x}}=3\sqrt[3]{4V^2}$, dấu "=" khi $x^2=\dfrac{2V}{x}$ tức $x^3=2V$.)
Bước 4 — Kết luận.
Vậy cạnh đáy để tốn ít tôn nhất là $x=5$ m (khi đó $h=\dfrac{V}{x^2}=2,5$ m, $S_{\min}=75$ m²).