Bước 1 — Khai thác tính đối xứng.
Nối tâm $O$ với các đỉnh: 3 bán kính chia hình tròn thành $3$ hình quạt bằng nhau, đồng thời chia tam giác đều thành $3$ tam giác cân bằng nhau (hai cạnh đều $= R$).
Mỗi góc ở tâm bằng $\dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.
$\Rightarrow$ phần ngoài đa giác gồm ĐÚNG $3$ hình viên phân BẰNG NHAU, mỗi viên phân $=$ một quạt $-$ một tam giác cân.
Bước 2 — Diện tích một hình quạt.
$S_{\text{quạt}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot 120}{360} = \dfrac{\pi \cdot 9 \cdot 120}{360} = 3 \pi$.
Bước 3 — Diện tích một tam giác cân.
Góc ở tâm $120^\circ$. Hạ đường cao $OH \perp AB$ thì $OH$ là phân giác $\Rightarrow \widehat{AOH} = 60^\circ$; trong tam giác $OAH$ vuông tại $H$: $OH = R\cos 60^\circ = \dfrac{R}{2}$, $AH = R\sin 60^\circ = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$ nên $AB = R\sqrt{3}$.
$S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} AB \cdot OH = \dfrac{R^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4} = \dfrac{9 \sqrt{3}}{4}$.
Bước 4 — Cộng theo đối xứng.
Tổng phần ngoài $= 3\,(S_{\text{quạt}} - S_{\triangle}) = 3 \cdot S_{\text{quạt}} - 3 \cdot S_{\triangle}$.
Mà $3 \cdot S_{\text{quạt}} = S_{\text{hình tròn}} = \pi R^2 = 9 \pi$ và $3 \cdot S_{\triangle} = S_{tam giác đều} = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4}$.
$\Rightarrow S = 9 \pi - \dfrac{27 \sqrt{3}}{4}$.
Kết luận: $S = 9 \pi - \dfrac{27 \sqrt{3}}{4}$.