Bước 1 — Điều kiện để là phương trình mặt cầu.
Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi:
• Hệ số của $x^2, y^2, z^2$ bằng nhau (đưa được về $1$);
• Không có số hạng tích chéo $xy, yz, xz$;
• $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ (khi đó tâm $I(-a; -b; -c)$, $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$).
Bước 2 — Loại các phương trình vi phạm.
• Phương trình có hệ số $x^2, y^2, z^2$ khác nhau ⇒ loại.
• Phương trình chứa số hạng tích chéo ($xy$/$yz$/$xz$) ⇒ loại.
• Phương trình có $a^2 + b^2 + c^2 - d \le 0$ ⇒ loại (không có điểm nào thoả).
Bước 3 — Kiểm tra đáp án.
Với $x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 6y - 4z + 13 = 0$: $a = -4, b = -3, c = -2, d = 13$ ⇒ $a^2 + b^2 + c^2 - d = 29 - (13) = 16 > 0$. Đây là mặt cầu tâm $I(4; 3; 2)$, $R = 4$.
Kết luận: $x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 6y - 4z + 13 = 0$ là phương trình mặt cầu.