Ứng dụng chuyển động: từ vận tốc $v(t) = at + b$ tìm vị trí / quãng đường.

Bước 1 — Quan hệ giữa quãng đường và vận tốc.
Vì $s'(t) = v(t)$ nên hàm vị trí $s(t)$ là một nguyên hàm của vận tốc $v(t)$:
$s(t) = \displaystyle\int v(t)\,dt$.

Bước 2 — Tích phân tìm nguyên hàm tổng quát.
$s(t) = \displaystyle\int (4t + 5)\,dt = \dfrac{4}{2}t^2 + 5t + C$.

Bước 3 — Dùng điều kiện $s(1) = 1$ để tìm $C$.
$s(1) = \dfrac{4}{2}\cdot 1^2 + 5\cdot 1 + C = 1$ $\Rightarrow C = -6$.
Vậy $s(t) = \dfrac{4}{2}t^2 + 5t - 6$.

Bước 4 — Tính quãng đường từ $t = 1$ s đến $t = 3$ s.
Vì $v(t) > 0$ trên $[1;3]$ nên quãng đường $= s(3) - s(1)$
$= \dfrac{4}{2}(3^2 - 1^2) + 5(3 - 1) = 26$ m.

Kết luận: quãng đường vật đi được là $26$ m.