Trong một mô hình ứng dụng, số lượng cá thể của một quần thể (đơn vị: nghìn cá thể) biến thiên theo thời gian $t$ (tháng) bởi công thức $f(t) = e^{t} - m\,t$, trong đó $m$ là tham số. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $m$ để hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $[2; +\infty)$.
ĐÁP ÁN
7
LỜI GIẢI
Bước 1 — Tính đạo hàm.
$f(t) = e^{t} - m t \Rightarrow f'(t) = e^{t} - m$.
Bước 2 — Điều kiện đồng biến trên nửa khoảng.
Hàm $f$ đồng biến trên $[2; +\infty)$ ⇔ $f'(t) \geq 0\ \forall t \geq 2$ ⇔ $e^{t} \geq m\ \forall t \geq 2$.
Bước 3 — Quy về giá trị nhỏ nhất.
Vì $e^{t}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên trên nửa khoảng $[2; +\infty)$ hàm $e^{t}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại mút trái $t = 2$, bằng $e^{2}$.
Do đó $e^{t} \geq m\ \forall t \geq 2$ ⇔ $m \leq e^{2}$.
Bước 4 — Chọn số nguyên lớn nhất.
$e^{2} \approx 7,39$. Số nguyên lớn nhất không vượt quá $e^{2}$ là $m = \lfloor e^{2} \rfloor = 7$.
Kết luận: $m = 7$.
65% trả lời đúng
333 đúng · 179 sai