Bước 1 — Mô hình hoá bằng góc nghiêng.
Gọi $\theta \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ là góc giữa thanh và mặt đất.
Phần thanh từ chỗ chạm đất tới đỉnh hàng rào: đi ngang được $ 4 $ m nên dài $\dfrac{4}{\cos\theta}$.
Phần từ đỉnh hàng rào tới điểm tựa trên tường: lên cao $ 1 $ m nên dài $\dfrac{1}{\sin\theta}$.
Vậy chiều dài thanh: $L(\theta) = \dfrac{1}{\sin\theta} + \dfrac{4}{\cos\theta}$, với $\theta \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.
Bước 2 — Đạo hàm và giải $L'(\theta) = 0$.
$L'(\theta) = -\dfrac{1\cos\theta}{\sin^2\theta} + \dfrac{4\sin\theta}{\cos^2\theta}$.
$L'(\theta) = 0 \Leftrightarrow 4\sin^3\theta = 1\cos^3\theta \Leftrightarrow \tan^3\theta = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \tan\theta = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{1/3}$.
Vì $L \to +\infty$ khi $\theta \to 0^+$ và $\theta \to \frac{\pi}{2}^-$, nghiệm này là điểm cực tiểu (GTNN) duy nhất của $L$.
Bước 3 — Thay nghiệm, rút gọn căn.
Với $\tan\theta = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{1/3}$ thì
$\sin\theta = \dfrac{1^{1/3}}{\sqrt{1^{2/3} + 4^{2/3}}}, \quad \cos\theta = \dfrac{4^{1/3}}{\sqrt{1^{2/3} + 4^{2/3}}}$.
Thay vào $L$:
$L_{\min} = 1\cdot\dfrac{\sqrt{1^{2/3} + 4^{2/3}}}{1^{1/3}} + 4\cdot\dfrac{\sqrt{1^{2/3} + 4^{2/3}}}{4^{1/3}} = (1^{2/3} + 4^{2/3})\sqrt{1^{2/3} + 4^{2/3}} = \left(1^{2/3} + 4^{2/3}\right)^{3/2}$.
Bước 4 — Thế số.
$L_{\min} = \left(1^{2/3} + 4^{2/3}\right)^{3/2} \approx 6,60$ m.
Kết luận: Chiều dài ngắn nhất của thanh $\approx 6,60$ m.