Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z + 2}{1}$ và mặt phẳng $(P): 3x - y + z - 25 = 0$. Một đường thẳng $d'$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M$, cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N$ và $d'$ song song với mặt phẳng $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
ĐÁP ÁN
2
,
7
1
LỜI GIẢI
Bước 1 — Tham số hoá $M$, $N$.
$M \in Oz \Rightarrow M(0; 0; m)$. $N \in d \Rightarrow N(1 + t; 0 + 2t; -2 + t)$ với tham số $t$.
Bước 2 — Điều kiện $d' \parallel (P)$.
$\vec n = (3; -1; 1)$ là VTPT của $(P)$. Vì $d' \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{MN} \perp \vec n$, tức $\overrightarrow{MN}\cdot\vec n = 0$. Giải ra $m$ theo $t$ rồi thế lại.
Bước 3 — Cực tiểu tam thức bậc hai.
$MN^2 = 6\,t^2 + 8\,t + 10$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = -2/3$, khi đó $MN^2_{\min} = \dfrac{22}{3}$.
Kết luận: $\min MN = \sqrt{\dfrac{22}{3}} \approx 2,71$.
67% trả lời đúng
537 đúng · 264 sai