Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: m), một quả cầu đèn tâm $I(-1; 2; -2)$ được treo giữa hai bức tường phẳng song song $(P_1): -2x - 2y - z + 9 = 0$ và $(P_2): -2x - 2y - z + 27 = 0$. Hỏi có bao nhiêu giá trị bán kính nguyên $R$ (m) để mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ cắt tường $(P_1)$ nhưng chưa chạm tới tường $(P_2)$?
A
$4$
B
$7$
C
$6$
D
$5$
✓
LỜI GIẢI
Hai mặt phẳng $(P_1), (P_2)$ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec n = (-2; -2; -1)$ nên chúng song song. Tính khoảng cách từ tâm $I$ tới mỗi tường:
$d(I, (P_1)) = \dfrac{|(-2)\cdot(-1) - 2\cdot2 - 1\cdot(-2) + 9|}{\sqrt{9}} = \dfrac{|9|}{3} = 3$, \quad $d(I, (P_2)) = \dfrac{|27|}{3} = 9$.
$(S)$ cắt $(P_1)$ $\Leftrightarrow R > d(I, (P_1)) = 3$. $(S)$ chưa chạm $(P_2)$ (không cắt, không tiếp xúc) $\Leftrightarrow R < d(I, (P_2)) = 9$. Vậy điều kiện là $3 < R < 9$.
Các số nguyên $R$ thoả $3 < R < 9$ là $4, 5, \ldots, 8$, tức từ $4$ đến $8$, gồm $9 - 3 - 1 = 5$ giá trị. Vậy có $\boxed{5}$ giá trị bán kính nguyên.
59% trả lời đúng
88 đúng · 62 sai