Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x + 3)(x + 2)(x - 1)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hỏi hàm số $h(x) = f(x^2 - 2x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A
$3$
✓
B
$1$
C
$4$
D
$5$
LỜI GIẢI
$h'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)$. $h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $f'(x^2 - 2x) = 0$.
Đặt $u = x^2 - 2x$, có $\min u = -1$ tại $x = 1$. Phương trình $f'(u) = 0$ tương đương $u \in \{-3, -2, 1\}$.
Xét từng nghiệm $u = r_i$: phương trình $x^2 - 2x = r_i$ $\Leftrightarrow x^2 - 2x - r_i = 0$ có $\Delta' = 1 + r_i$. Có nghiệm thực khi $r_i \geq -1$. Cụ thể: $x^2 - 2x = -3$ (vô nghiệm), $x^2 - 2x = -2$ (vô nghiệm), $x^2 - 2x = 1$ (có 2 nghiệm phân biệt).
Tổng số nghiệm của $f'(x^2-2x) = 0$: $2$ (từ 1 giá trị $r_i > -1$). Cộng thêm nghiệm $x = 1$ → $h'(x)$ có $3$ nghiệm phân biệt, đều là nghiệm đơn nên đổi dấu khi qua. Vậy $h$ có $3$ điểm cực trị.
64% trả lời đúng
510 đúng · 283 sai