Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): y - 2 = 0$, đường thẳng $d: \begin{cases} x = 2 \\ y = t \\ z = 2 \end{cases}$ và hai điểm $A(-2; -6; 22)$, $B(1; 0; 16)$. Hai điểm $M$, $N$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ luôn cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $2$ và $NA = 2NB$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm $M$ và $N$ bằng bao nhiêu?
ĐÁP ÁN
4
LỜI GIẢI
Bước 1 — Quỹ tích $M$.
$d \parallel Oy$ đi qua $(2; \cdot; 2)$. Trong $(P): y=2$, điều kiện $M$ cách $d$ khoảng $2$ cho đường tròn $(C_M)$ tâm $O_1(2; 2; 2)$, bán kính $r_M = 2$.
Bước 2 — Quỹ tích $N$ (mặt cầu Apollonius).
$NA = 2NB \Leftrightarrow NA^2 = 4NB^2$ ⇒ $N$ thuộc mặt cầu tâm $S = \dfrac{4B - A}{3} = (2; 2; 14)$, bán kính $R$. Cắt $(P)$ ⇒ đường tròn $(C_N)$ tâm $O_2(2; 2; 14)$, bán kính $r_N = 6$.
Bước 3 — Hai đường tròn đồng trục.
$O_1, O_2$ cùng nằm trên đường thẳng $\parallel Oz$ (cùng $x=2, y=2$), $O_1O_2 = |14 - 2| = 12$.
$\min MN = O_1O_2 - r_M - r_N = 12 - 2 - 6 = 4$.
Kết luận: $\min MN = 4$.
65% trả lời đúng
134 đúng · 71 sai