A) Đúng. Đường tròn tâm $O$ tiếp xúc $AD$, $BC$ (hai cạnh cách $O$ một khoảng $\dfrac{AB}{2} = 2$) nên bán kính $= 2$, phương trình $x^2 + y^2 = 2^2 = 4$ ⇒ ĐÚNG.
B) Sai. SAI — elip nhận $ABCD$ làm hình chữ nhật cơ sở có bán trục $a = \dfrac{AD}{2} = 5$, $b = \dfrac{AB}{2} = 2$ nên phương trình là $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ (mẫu là $a^2=25$ và $b^2=4$), KHÔNG phải $\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{2} = 1$.
C) Sai. SAI — biểu thức đó chỉ tính phần NẰM TRÊN trục $Ox$ (giữa nửa elip và nửa đường tròn), bằng $\dfrac{1}{2}$ diện tích thật. Miền tô đậm đối xứng qua $Ox$ nên diện tích $= 2\left(\dfrac{1}{2}\pi a b - \dfrac{1}{2}\pi b^2\right) = \pi a b - \pi b^2$ — phải nhân $2$.
D) Đúng. Quay quanh $Ox$: vật $=$ elipxoit (quay elip) trừ mặt cầu (quay đường tròn). $V = \pi\!\int_{-5}^{5} 4\!\left(1-\dfrac{x^2}{25}\right)dx - \pi\!\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx = \dfrac{4}{3}\pi 4(5-2) \approx 50{,}3\ \text{cm}^3$ ⇒ ĐÚNG.