Cho hàm số $f(x) = x^2 - 2mx + 2m^2 - 4m + 5$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $m$ để giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ bằng $17$.
A
$m \in \{-2; 6\}$
✓
B
$m = -2$
C
$m = 6$
D
$m \in \{2; -6\}$
LỜI GIẢI
Bước 1 — GTNN của tam thức bậc hai hệ số $a > 0$.
Với $f(x) = ax^2 + bx + c$ và $a > 0$, đồ thị là parabol bề lõm hướng lên nên $f$ đạt GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT tại đỉnh:
$\min f = f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = -\dfrac{\Delta}{4a}$.
Bước 2 — Xác định đỉnh theo $m$.
Ở đây $a = 1 > 0,\ b = -2m$ nên hoành độ đỉnh $x = -\dfrac{-2m}{2} = m$.
Thay $x = m$ vào $f$:
$f(m) = m^2 - 2m \cdot m + 2m^2 - 4m + 5 = m^2 - 4m + 5$.
Bước 3 — Cho GTNN bằng $17$:
$m^2 - 4m + 5 = 17 \Leftrightarrow m^2 - 4m - 12 = 0$.
Bước 4 — Giải phương trình bậc hai ẩn $m$:
$\Delta' = (-2)^2 + 12 = 16 > 0 \Rightarrow$ hai nghiệm $m = -2$ và $m = 6$.
Kết luận: $m \in \{-2; 6\}$.
65% trả lời đúng
575 đúng · 314 sai