Một chiếc cối đá có lòng cối là một paraboloid tròn xoay (có mặt cắt qua trục là một parabol như hình bên), với miệng cối là đường tròn có đường kính $30$ cm và chiều sâu lòng cối là $20$ cm. Biết rằng thể tích của lòng cối bằng $a\pi$ (cm³), giá trị $a$ bằng bao nhiêu?
ĐÁP ÁN
2
2
5
0
LỜI GIẢI
Đặt hệ trục $Oxy$ chứa trục đối xứng của cối, đỉnh paraboloid (đáy sâu nhất của cối) tại gốc $O$. Mặt cắt qua trục là parabol $y = c x^2$ đi qua $(\pm 15; 20)$ (mép miệng cối): $20 = c \cdot 15^2 \Rightarrow c = \dfrac{20}{225}$.
Suy ra $x^2 = \dfrac{y}{c} = \dfrac{225}{20} y$ (với $0 \le y \le 20$).
Thể tích lòng cối là thể tích khối tròn xoay quanh trục $Oy$: $V = \pi \int_0^{20} x^2(y)\,dy = \pi \int_0^{20} \dfrac{225}{20} y\,dy = \pi \cdot \dfrac{225}{20} \cdot \dfrac{20^2}{2} = \pi \cdot \dfrac{225 \cdot 20}{2} = \pi \cdot \dfrac{30^2 \cdot 20}{8} = 2250\pi$.
Vậy $a = 2250$ (cm³ / $\pi$).
67% trả lời đúng
380 đúng · 189 sai