Cho hàm số $y = \dfrac{\sin x - 1}{5 + \cos x}$. Gọi $y_{\max}$, $y_{\min}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Tính $y_{\max} + y_{\min}$.
A
$y_{\max} + y_{\min} = \dfrac{5}{12}$
B
$y_{\max} + y_{\min} = - \dfrac{1}{5}$
C
$y_{\max} + y_{\min} = - \dfrac{5}{12}$
✓
D
$y_{\max} + y_{\min} = 0$
LỜI GIẢI
Biến đổi: $y(5 + \cos x) = \sin x - 1$ $\Leftrightarrow \sin x - y\cos x = 5y +1$.
Phương trình $A \sin x + B \cos x = C$ có nghiệm $\Leftrightarrow A^2 + B^2 \geq C^2$. Áp dụng: $1 + y^2 \geq (5y + 1)^2$.
Khai triển: $1 + y^2 \geq 25y^2 + 10y + 1$ $\Leftrightarrow 24y^2 + 10y \leq 0$.
Theo Vi-ét cho phương trình $\Delta y^2 + \dots = 0$ (với $\Delta = 24 > 0$), tập nghiệm $y \in [y_{\min}; y_{\max}]$ với $y_{\max} + y_{\min} = \dfrac{-10}{24} = - \dfrac{5}{12}$ và $y_{\max} \cdot y_{\min} = \dfrac{0}{24} = 0$.
Vậy $y_{\max} + y_{\min} = - \dfrac{5}{12}$.
63% trả lời đúng
210 đúng · 125 sai