Một chiếc cầu vòm bắc qua sông có dạng một parabol. Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ với gốc $O$ tại chân cầu bên trái, $Ox$ trùng với mặt đường, $Oy$ thẳng đứng hướng lên. Vòm cầu đi qua $O(0; 0)$, đỉnh vòm tại điểm $(10; 5)$ và chân cầu bên phải tại $(20; 0)$ (đơn vị: mét). Một xe tải có chiều rộng $4$ m đi qua cầu; xe chạy bám sát trục đối xứng của cầu (hai mép xe cách đều trục đối xứng). Hỏi chiều cao tối đa $h_{\max}$ của xe (tính từ mặt đường đến điểm cao nhất của xe) để xe có thể đi qua cầu là bao nhiêu mét?
A
$h_{\max} = 3$ m
B
$h_{\max} = 4,8$ m
✓
C
$h_{\max} = 1$ m
D
$h_{\max} = 4$ m
LỜI GIẢI
Parabol đi qua $O(0; 0)$ và $(20; 0)$ nên có dạng $y = ax(L - x)$. Tại đỉnh $x = \dfrac{L}{2} = 10$: $y = a \cdot 10 \cdot 10 = \dfrac{aL^2}{4} = 5 \Rightarrow a = \dfrac{4H}{L^2} = \dfrac{20}{400}$.
Phương trình vòm cầu: $y = \dfrac{4H}{L^2} x(L - x)$.
Xe rộng $4$ m, chạy giữa cầu nên hai mép xe nằm tại $x = \dfrac{L - w}{2} = 8$ và $x = \dfrac{L + w}{2} = 12$.
Chiều cao tối đa của xe bằng chiều cao vòm cầu tại mép xe (đối xứng nên hai mép cùng độ cao): $h_{\max} = y\!\left(\dfrac{L - w}{2}\right) = \dfrac{4H}{L^2} \cdot \dfrac{L - w}{2} \cdot \dfrac{L + w}{2} = \dfrac{H(L^2 - w^2)}{L^2} = H\!\left(1 - \dfrac{w^2}{L^2}\right)$.
Thay số: $h_{\max} = 5\!\left(1 - \dfrac{16}{400}\right) = 5 \cdot \dfrac{384}{400} = 4,8$ m.
63% trả lời đúng
381 đúng · 226 sai