Hệ thống định vị toàn cầu GPS xác định vị trí điểm $M$ trong không gian dựa trên tín hiệu từ $4$ vệ tinh. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, bốn vệ tinh được đặt tại các vị trí $A(4; 6; 3)$, $B(1; 2; 6)$, $C(1; 14; 3)$, $D(5; 2; 3)$ (đơn vị: ki-lô-mét). Tín hiệu thu được cho biết: $MA = 5$ km, $MB = 3$ km, $MC = 12$ km, $MD = 4$ km. Tính tổng các toạ độ $T = x_M + y_M + z_M$ của điểm $M$.
ĐÁP ÁN
6
LỜI GIẢI
Đặt $M(x; y; z)$. Từ giả thiết: $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 + (z - 3)^2 = 25$ (i); và 3 phương trình tương tự cho $B, C, D$ với vế phải lần lượt là $9, 144, 16$.
Khai triển 4 phương trình về dạng $x^2 + y^2 + z^2 + a_i x + b_i y + c_i z + k_i = 0$ ($i \in \{A, B, C, D\}$).
Trừ vế-vế (A) với (B), (A) với (C), (A) với (D) để triệt $x^2+y^2+z^2$, thu được hệ $3$ phương trình tuyến tính theo $x, y, z$.
Giải hệ tuyến tính (thế / khử Gauss) được $M(1; 2; 3)$. Kiểm tra lại: $MA = \sqrt{(3)^2 + (4)^2 + (0)^2} = \sqrt{25} = 5$ ✓ (tương tự cho $B, C, D$).
Vậy $T = x_M + y_M + z_M = 1 + 2 + 3 = 6$.
58% trả lời đúng
178 đúng · 128 sai