Một hộ gia đình muốn xây dựng một thùng container nhỏ kho hàng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích cố định $V = 400$ m³. Theo bản thiết kế, chiều dài đáy gấp $4$ lần chiều rộng. Giả sử chi phí vật liệu để xây đáy và bốn mặt bên đều cùng một đơn giá (tính trên mỗi mét vuông). Tính chiều rộng $x$ (đơn vị: mét) của thùng để chi phí xây dựng vật liệu là nhỏ nhất.
ĐÁP ÁN
5
LỜI GIẢI
Gọi chiều rộng đáy là $x$ (m), $x > 0$. Khi đó chiều dài đáy là $4 x$ (m). Từ $V = 4 x^2 \cdot h = 400$, suy ra chiều cao $h = \dfrac{400}{4 x^2}$ (m).
Diện tích vật liệu cần dùng (đáy + 4 mặt bên):$$S(x) = \underbrace{4 x^2}_{\text{đáy}} + \underbrace{2 \cdot (4 x) h + 2 \cdot x \cdot h}_{4 \text{ mặt bên}} = 4 x^2 + 2(4+1) x h.$$
Thay $h = \dfrac{400}{4 x^2}$: $S(x) = 4 x^2 + 2 \cdot 5 \cdot x \cdot \dfrac{400}{4 x^2} = 4 x^2 + \dfrac{4000}{4 x}$.
$S'(x) = 24 x - \dfrac{4000}{4 x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = \dfrac{(4+1) V}{4^2} = \dfrac{2000}{16} = 125 \Leftrightarrow x = 5$ (m).
Kiểm tra: $S''(x) > 0$ với mọi $x > 0$ nên $x = 5$ m cho diện tích vật liệu nhỏ nhất. Khi đó: chiều dài $20$ m, chiều cao $4$ m.
61% trả lời đúng
386 đúng · 242 sai