Một chiếc bình thuỷ tinh có dạng hình nón (đỉnh hướng xuống dưới) với chiều cao $10$ cm và bán kính miệng (đáy nón) $10$ cm. Người ta đổ nước vào bình sao cho chiều cao mực nước tăng đều với tốc độ $1$ cm/giây cho đến khi bình đầy. Hỏi tại thời điểm bình sắp đầy ($h = H = 10$ cm), tốc độ tăng thể tích nước trong bình là bao nhiêu cm³/giây (sử dụng $\pi \approx 3{,}14$, làm tròn đến hàng đơn vị)? (Làm tròn đến hàng đơn vị)
ĐÁP ÁN
3
1
4
LỜI GIẢI
Gọi $h$ là chiều cao mực nước ($0 \le h \le 10$). Bán kính mặt nước tại độ cao $h$ (tỉ lệ thuận, do tiết diện ngang là hình tròn đồng dạng): $r(h) = \dfrac{R}{H} h = \dfrac{10}{10} h$.
Thể tích nước: $V(h) = \dfrac{1}{3} \pi r(h)^2 \cdot h = \dfrac{1}{3} \pi \cdot \dfrac{R^2}{H^2} h^2 \cdot h = \dfrac{\pi R^2}{3 H^2} h^3 = \dfrac{100\pi}{300} h^3$.
Lấy đạo hàm hai vế theo $t$ (quy tắc xích): $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\pi R^2}{H^2} h^2 \cdot \dfrac{dh}{dt}$.
Tại thời điểm sắp đầy, $h = H = 10$ cm và $\dfrac{dh}{dt} = 1$ cm/s. Thay vào: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\pi \cdot 100}{100} \cdot 100 \cdot 1 = \pi \cdot 100 \cdot 1 = 100\pi$.
Với $\pi \approx 3{,}14$: $\dfrac{dV}{dt} \approx 100 \cdot 3{,}14 \approx 314$ cm³/giây.
61% trả lời đúng
117 đúng · 75 sai