Hai cột điện $AC$, $BD$ có cùng chiều cao $B$ được dựng vuông góc với mặt đất và cách nhau $100$ mét ($AB = CD = 100$ mét). Một dây điện được treo từ đầu $A$ cột này đến đầu $B$ cột kia với $AC = BD$. Chọn hệ toạ độ $Oxy$ sao cho tia $Ox$ trùng với tia $OD$ ($O$ là trung điểm $CD$), tia $Oy$ cùng hướng với tia $CA$, mỗi đơn vị trên các trục toạ độ là $1$ mét. Khi đó, dây điện nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và tạo thành một đường cong catenary có phương trình $y = 223,5\left(e^{x/447} + e^{-x/447}\right) - 430$, với $-50 \le x \le 50$. Gọi khoảng cách từ điểm thấp nhất trên dây điện đến đường thẳng nằm ngang $AB$ là độ võng của dây điện. Hỏi độ võng của dây điện bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm)
ĐÁP ÁN
2
,
8
0
LỜI GIẢI
Đạo hàm: $y'(x) = \dfrac{223,5}{447}\,\left(e^{x/447} - e^{-x/447}\right)$. $y'(x) = 0 \Leftrightarrow e^{x/447} = e^{-x/447} \Leftrightarrow x = 0$. Lập bảng xét dấu: $y' < 0$ trên $(-50; 0)$, $y' > 0$ trên $(0; 50)$ ⇒ $y$ đạt cực tiểu (cũng là GTNN trên đoạn) tại $x = 0$.
Điểm thấp nhất: $y(0) = 223,5(e^0 + e^0) - 430 = 223,5 \cdot 2 - 430 = 17$ m.
Đường thẳng $AB$ nằm ngang đi qua hai điểm $A$, $B$ ở độ cao $y(\pm 50) = 223,5\left(e^{50/447} + e^{-50/447}\right) - 430 \approx 19.80$ m.
Độ võng $= y(50) - y(0) \approx 19.80 - 17 \approx 2,80$ m.
63% trả lời đúng
537 đúng · 322 sai