Cho tập $S$ gồm các điểm $(x;y)$ với $x,y$ nguyên dương không vượt quá $12$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm phân biệt trong $S$. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó có toạ độ nguyên?
ĐÁP ÁN
2
5
2
0
LỜI GIẢI
Bước 1 — Điều kiện trung điểm nguyên.
Lưới $S$ có $N = 12^2 = 144$ điểm. Trung điểm $AB$ nguyên ⟺ $x_A,x_B$ cùng tính chẵn/lẻ VÀ $y_A,y_B$ cùng tính chẵn/lẻ.
Bước 2 — Bốn lớp theo tính chẵn/lẻ.
Trong $1..12$ có $6$ số chẵn, $6$ số lẻ ⇒ bốn lớp (CC, CL, LC, LL) có số điểm $36, 36, 36, 36$.
Bước 3 — Đếm số cặp thuận lợi.
Mỗi cặp thuận lợi nằm gọn trong một lớp ⇒ số cặp $= \sum \binom{\text{cỡ lớp}}{2} = 630 + 630 + 630 + 630 = 2520$.
Kết luận: Số cặp thuận lợi $= 2520$.
62% trả lời đúng
259 đúng · 160 sai