Tổng số 7 chữ số đôi một khác nhau: Chữ số đầu có $9$ cách (khác $0$); 6 chữ số tiếp theo là chỉnh hợp chập $6$ của $9$ chữ số còn lại: $|X| = 9 \cdot A_9^6 = 9 \cdot 60480 = 544320$.
Phân loại theo chữ số cuối (cần chẵn ∈ $\{0, 2, 4, 6, 8\}$). Lưu ý: nếu cuối $= 2$ thì $2$ ở pos $7$, nhưng thứ tự yêu cầu $2 \to 3 \to 4$ $\Rightarrow$ pos $2 <$ pos $3 <$ pos $4$, tức $2$ KHÔNG ở cuối → loại trừ.
Case 1 (cuối = 4): Pos $7 = 4$. Chọn $2$ vị trí cho $\{2,3\}$ trong 6 pos đầu (thứ tự $2$ trước $3$): $C_6^2 = 15$. $4$ pos còn lại lấy từ $\{0,1,5,6,7,8,9\}$: $A_7^4 = 840$. Tổng: $12600$. Trừ trường hợp pos $1 = 0$: $C_5^2 \cdot A_6^3 = 1200$. $\Rightarrow$ Case 1 hợp lệ: $12600 - 1200 = 11400$.
Case 2 (cuối = 0): Pos $7 = 0$. $C_6^3 \cdot A_6^3 = 20 \cdot 120 = 2400$. Pos $1$ chắc chắn $\ne 0$. → 2400. Case 3 (cuối $\in \{6, 8\}$): Mỗi case: $C_6^3 \cdot A_6^3 - C_5^3 \cdot A_5^2 = 2400 - 200 = 2200$. Cộng cả 2 cuối: $4400$.
Tổng biến cố hợp lệ: $11400 + 2400 + 4400 = 18200$. Xác suất: $\dfrac{18200}{544320} = \dfrac{65}{1944}$ (rút gọn theo $\gcd = 280$). $a + b = 65 + 1944 = 2009$.