Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 + a = \dfrac{3}{2} x \Leftrightarrow x^2 - \dfrac{3}{2} x + a = 0$. Hai nghiệm dương phân biệt $x_1, x_2$ khi $0 < a < \dfrac{9}{16}$.
Trên $[0; x_1]$: parabol nằm trên đường thẳng → $S_1 = \int_0^{x_1}\!\bigl((x^2 + a) - kx\bigr)\,dx$. Trên $[x_1; x_2]$: đường thẳng nằm trên parabol → $S_2 = \int_{x_1}^{x_2}\!\bigl(kx - (x^2 + a)\bigr)\,dx$.
$S_1 = S_2 \Leftrightarrow S_2 - S_1 = 0 \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2}\!(kx - x^2 - a)\,dx + \int_0^{x_1}\!(kx - x^2 - a)\,dx = 0$, tức $\int_0^{x_2}\!(kx - x^2 - a)\,dx = 0$.
$\Leftrightarrow \dfrac{k x_2^2}{2} - \dfrac{x_2^3}{3} - a x_2 = 0 \Leftrightarrow x_2\!\left(\dfrac{k x_2}{2} - \dfrac{x_2^2}{3} - a\right) = 0$. Vì $x_2 \ne 0$ nên $a = \dfrac{k x_2}{2} - \dfrac{x_2^2}{3}$ (i).
Mặt khác $x_2$ là nghiệm $x^2 - k x + a = 0 \Rightarrow a = k x_2 - x_2^2$ (ii). Từ (i) = (ii): $k x_2 - x_2^2 = \dfrac{k x_2}{2} - \dfrac{x_2^2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{k x_2}{2} = \dfrac{2 x_2^2}{3} \Leftrightarrow x_2 = \dfrac{3k}{4} = \dfrac{9}{8}$.
Thay vào (ii): $a = k \cdot \dfrac{9}{8} - \dfrac{9}{8}^2 = \dfrac{3 k^2}{16} = \dfrac{27}{64}$.