Đặt số cần đếm là $\overline{abcd}$ với $a, b, c, d$ đôi một khác nhau, $\{a, b, c, d\} \subset \{1, 2, \ldots, 9\}$. Tổng các chữ số $a+b+c+d \in [10; 30]$ (vì $1+2+3+4 = 10$, $6+7+8+9 = 30$). Để $a+b+c+d \;\vdots\; 11$: $a+b+c+d \in \{11; 22\}$.
Trường hợp $a+b+c+d = 11$: tập 4 chữ số phân biệt từ $\{1,\ldots,9\}$ có tổng $11$. Chỉ có duy nhất bộ $\{1; 2; 3; 5\}$ (vì $1+2+3+4=10 < 11$, $1+2+3+5=11$, các bộ khác đều lớn hơn). Dấu hiệu chia hết cho $11$ yêu cầu $(a+c) - (b+d) \;\vdots\; 11$. Đặt $s_1 = a+c$, $s_2 = b+d$: $s_1 + s_2 = 11$, $s_1 - s_2 \in \{-11, 0, 11\}$. Cả ba khả năng đều không cho $s_1, s_2$ là số nguyên dương (vì $11$ lẻ → $s_1 = 5.5$ khi $s_1=s_2$). Vậy trường hợp này có $0$ số.
Trường hợp $a+b+c+d = 22$: $s_1 + s_2 = 22$, $s_1 - s_2 \in \{-11, 0, 11\}$. Chỉ có $s_1 - s_2 = 0 \Rightarrow s_1 = s_2 = 11$ (hai trường hợp $\pm 11$ cho $s$ không nguyên). Tức $a + c = 11$ và $b + d = 11$.
Đếm các cặp $(x; y)$ trong $\{1, \ldots, 9\}$ với $x + y = 11$, $x \ne y$: $(2; 9), (3; 8), (4; 7), (5; 6)$ — $4$ cặp không thứ tự.
Chọn $2$ cặp khác nhau (cặp $1$ cho vị trí $a, c$; cặp $2$ cho vị trí $b, d$): $4 \cdot 3 = 12$ cách (có thứ tự). Mỗi cặp được xếp vào $2$ vị trí $(a, c)$ (hoặc $(b, d)$) theo $2$ cách hoán vị: $2 \cdot 2 = 4$ cách. Tổng số số thỏa mãn: $12 \cdot 4 = 48$.