$O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2}$. Vì $S.ABCD$ là chóp đều, $SO \perp (ABCD)$ và $SO = h = \sqrt{b^2 - OA^2} = \sqrt{6^2 - \dfrac{36}{2}} = \sqrt{18}$.
Chọn hệ trục $Oxyz$ với $O$ là gốc, $Ox \parallel AB$, $Oy \parallel AD$, $Oz \equiv OS$. Khi đó $A\!\left(\dfrac{a}{2}; \dfrac{a}{2}; 0\right)$, $B\!\left(-\dfrac{a}{2}; \dfrac{a}{2}; 0\right)$, $D\!\left(\dfrac{a}{2}; -\dfrac{a}{2}; 0\right)$, $S(0; 0; h)$.
$\vec{SA} = \left(\dfrac{a}{2}; \dfrac{a}{2}; -h\right)$, $\vec{BD} = (a; -a; 0)$. $\vec{SA} \times \vec{BD} = (-ah;\, -ah;\, -a^2)$, $\bigl|\vec{SA} \times \vec{BD}\bigr| = a\sqrt{2h^2 + a^2}$.
Rút gọn: $2h^2 + a^2 = 2(b^2 - a^2/2) + a^2 = 2b^2$, do đó $|\vec{SA} \times \vec{BD}| = a\sqrt{2b^2} = ab\sqrt{2}$. Vector $\vec{AB} = (-a; 0; 0)$ nên $\bigl(\vec{SA} \times \vec{BD}\bigr) \cdot \vec{AB} = -a \cdot (-ah) = a^2 h$.
$d(SA, BD) = \dfrac{|\bigl(\vec{SA} \times \vec{BD}\bigr) \cdot \vec{AB}|}{|\vec{SA} \times \vec{BD}|} = \dfrac{a^2 h}{ab\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2b^2 - a^2}}{2b} \approx 3$ m.