Để hỗ trợ phát triển loại sản phẩm mới ra mắt thị trường, số lượng khách mua sau $t$ tháng kể từ thời điểm phát hành được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = \dfrac{5000}{1 + 24\, e^{-t}}$ (với $t \ge 0$). Biết rằng hàm số $f'(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng khách mua mới. Hỏi sau bao nhiêu tháng kể từ khi phát hành thì tốc độ tăng trưởng đạt giá trị lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: tháng).
ĐÁP ÁN
3
LỜI GIẢI
Đặt $u(t) = 1 + 24\, e^{-t}$ thì $f(t) = \dfrac{5000}{u(t)}$. Lấy đạo hàm: $f'(t) = -\dfrac{5000 \cdot u'(t)}{u(t)^2}$ với $u'(t) = -\dfrac{24}{1}\, e^{-t}$. Suy ra $f'(t) = \dfrac{5000 \cdot \dfrac{24}{1} e^{-t}}{u(t)^2} > 0$.
$f'(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm uốn của $f$, tức nghiệm của $f''(t) = 0$. Bằng tính toán (hoặc biết tính chất của hàm logistic), $f'(t)$ max khi $u(t) = 2 \cdot 1 = 2 \Leftrightarrow 24\, e^{-t} = 1$.
$\Leftrightarrow e^{-t} = \dfrac{1}{24} \Leftrightarrow \dfrac{t}{1} = \ln 24 \Leftrightarrow t = 1\,\ln 24$.
Thay số: $t^* = 1 \cdot \ln 24 \approx 1 \cdot 3.1781 \approx 3.1781$ (tháng). Làm tròn đến hàng đơn vị: $t^* \approx 3$ tháng.
65% trả lời đúng
521 đúng · 277 sai