Cho tập $S$ gồm các điểm $(x;y)$ với $x,y$ nguyên dương không vượt quá $20$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm $A,B$ phân biệt trong $S$. Gọi $p$ là xác suất để trung điểm của $AB$ có toạ độ nguyên; viết $p$ dưới dạng phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $2a+b$.
ĐÁP ÁN
1
9
9
LỜI GIẢI
Bước 1 — Không gian mẫu.
Lưới có $N = 20^2 = 400$ điểm. Chọn $2$ điểm phân biệt: $n(\Omega) = \binom{400}{2} = 79800$.
Bước 2 — Điều kiện trung điểm nguyên.
Trung điểm $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ có toạ độ nguyên ⟺ $x_A,x_B$ cùng tính chẵn/lẻ VÀ $y_A,y_B$ cùng tính chẵn/lẻ.
Bước 3 — Chia $4$ lớp theo tính chẵn/lẻ của $(x,y)$.
Trong $1..20$ có $10$ số chẵn và $10$ số lẻ. Bốn lớp (CC, CL, LC, LL) có số điểm lần lượt là $100, 100, 100, 100$. Hai điểm cho trung điểm nguyên ⟺ cùng một lớp.
Bước 4 — Đếm cặp thuận lợi.
$|A| = \sum \binom{\text{cỡ lớp}}{2} = 19800$ ⇒ $p = \dfrac{19800}{79800} = \dfrac{33}{133}$.
Bước 5 — Đáp số.
$2a+b = 2\cdot33 + 133 = 199$.
Kết luận: $2a+b = 199$.
65% trả lời đúng
540 đúng · 286 sai