Cần phân bổ học bổng cho 3 lớp: phân phối $20$ suất học bổng (các suất học bổng giống hệt nhau) cho $3$ lớp A, B và C. Theo quy định: lớp $A$ phải nhận ít nhất $3$ suất học bổng; lớp $B$ phải nhận ít nhất $4$ suất học bổng; lớp $C$ phải nhận ít nhất $2$ suất học bổng. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách phân bổ $20$ suất học bổng này để thỏa mãn các yêu cầu trên?
ĐÁP ÁN
7
8
LỜI GIẢI
Gọi $x_i$ ($i = 1, 2, \ldots, 3$) là số suất học bổng phân cho lớp thứ $i$. Phương trình: $\sum_{i=1}^{3} x_i = 20$ với $x_i \ge m_i$ (cụ thể: $x_1 \ge 3, x_2 \ge 4, x_3 \ge 2$).
Đặt $y_i = x_i - m_i \ge 0$ ($i = 1, \ldots, 3$). Thế vào phương trình ban đầu: $\sum (y_i + m_i) = 20 \Leftrightarrow y_1 + y_2 + y_3 = 20 - 9 = 11$.
Số nghiệm nguyên không âm của $y_1 + y_2 + y_3 = 11$ chính là số cách phân bổ. Áp dụng công thức vách ngăn Euler (Stars and Bars) chia $n = 11$ vật cho $k = 3$ nhóm: số cách $= C_{n + k - 1}^{k - 1} = C_{13}^{2} = 78$.
71% trả lời đúng
227 đúng · 92 sai