Đặt $A$ ở gốc toạ độ, $AB$ trùng $Ox$, $AD$ trùng $Oy$. Khoảng cách $A$ đến hai tiệm cận đều $3$ ⇒ TCĐ: $x = 3$, TCN: $y = 3$. Suy ra $(C): y = \dfrac{3\,x + b}{x - 3}$ (lấy $c = 1$, $a = 3$, $d = -3$).
$E(4; 0)$ thuộc $(C)$: $y(4) = 0 \Rightarrow 3 \cdot 4 + b = 0 \Rightarrow b = -12$. Vậy $(C): y = \dfrac{3(x - 4)}{x - 3} = 3 - \dfrac{3}{x - 3}$.
Vùng 1 (góc gần $D$): Nhánh trái $(x < 3)$ đi từ $(0, 4)$ đến giao với cạnh $CD$ ($y = 6$): $x_\text{top} = 3 + \dfrac{3}{-3} = 2$. Diện tích: $S_1 = \int_0^{2}\!\bigl(6 - 3 + \dfrac{3}{x - 3}\bigr) dx = (3)\,x_\text{top} + 3\,\ln\dfrac{|x_\text{top} - 3|}{3}$.
Vùng 2 (góc gần $B$): Nhánh phải đi từ $E(4, 0)$ đến $(10, 2.57143)$. Diện tích: $S_2 = \int_{4}^{10}\!\!\bigl(3 - \dfrac{3}{x - 3}\bigr) dx = 3(10 - 4) - 3\,\ln\dfrac{|10 - 3|}{|4 - 3|}$.
Tổng: $S = S_1 + S_2 \approx 2.7042 + 12.1623 \approx 14.8664$ m². Làm tròn hàng phần mười: $14,9$ m².