Luyện tập →
Câu hỏi › Lớp 12 › Nguyên hàm. Tích phân › Ứng dụng tích phân tính thể tích

VDC (SA): Bánh Taco — bánh Tortilla tròn đường kính $D$ (bán kính

Lớp 12 · Ứng dụng tích phân tính thể tích
Bánh Taco là một món ăn đặc trưng của Mexico, được tạo thành từ một chiếc bánh Tortilla (bánh ngô) cuộn quanh thức ăn. Để làm một chiếc bánh Taco ta lấy bánh Tortilla tròn có đường kính $20$ cm đặt vào mặt trong của hình trụ có bán kính $R = 5$ cm, dọc theo đường kính của Tortilla và gập bánh lại quanh hình trụ (sau đó đổ đầy thịt, phô mai, rau củ đến tận mép bánh). Gọi $x$ là khoảng cách từ tâm bánh Tortilla đến một điểm $P$ trên đường kính. Tính thể tích của bánh Taco theo đơn vị $\text{cm}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
ĐÁP ÁN
8 1 1
LỜI GIẢI

Bước 1 — Thiết lập tiết diện. Gắn trục $Ox$ trùng đường gập (đường kính Tortilla), gốc $O$ tại tâm bánh, nên $x \in [-10; 10]$. Tại vị trí $x$, nửa bề rộng miếng bột (từ đường gập tới mép) là $\ell(x) = \sqrt{r^2 - x^2} = \sqrt{10^2 - x^2}$.

Bước 2 — Hình dạng tiết diện. Khi gập áp vào mặt trong hình trụ bán kính $R = 5$, đoạn bột dài $\ell(x)$ uốn theo cung tròn bán kính $R$, ứng với góc ở tâm $\alpha(x) = \dfrac{\ell(x)}{R}$. Hai nửa đối xứng ⇒ tiết diện là hình viên phân của đường tròn bán kính $R$ với góc ở tâm $2\alpha$: $S(x) = \dfrac{1}{2} R^2\bigl(2\alpha - \sin 2\alpha\bigr)$.

Bước 3 — Lập tích phân thể tích. $V = \displaystyle\int_{-10}^{10} S(x)\,dx = \int_{-10}^{10} \dfrac{R^2}{2}\!\left(\dfrac{2\sqrt{10^2-x^2}}{R} - \sin\dfrac{2\sqrt{10^2-x^2}}{R}\right) dx$.

Bước 4 — Tách phần tính được tường minh. $\displaystyle\int_{-10}^{10} R\sqrt{10^2-x^2}\,dx = R\cdot\dfrac{\pi\,10^2}{2} \approx 785{,}40$ (diện tích nửa hình tròn bán kính $10$ nhân $R$); phần chứa $\sin$ tính bằng máy.

Kết luận. Tính toán (làm tròn đến hàng đơn vị): $V \approx 811$ cm³.

62% trả lời đúng 193 đúng · 117 sai
← Tìm câu hỏi khác