Gọi $d_1$ (trục đối xứng) và $d_2$ (vuông góc với $d_1$, bị $d_1$ chia đôi) là hai đường chéo. $d_1$ nối hai đỉnh \"chóp\" của diều (giữa hai cặp cạnh bằng nhau), $d_2$ nối hai đỉnh \"cánh\". Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo, $h_1, h_2$ là khoảng cách từ $O$ tới hai đỉnh chóp ($h_1 + h_2 = d_1$).
Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông: $h_1^2 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2 = 20^2 = 400$ và $h_2^2 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2 = 48^2 = 2304$. Đặt $x = \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2$, ta có $h_1 = \sqrt{400 - x}$, $h_2 = \sqrt{2304 - x}$ với $0 < x < 400$.
Diện tích cánh diều: $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 = (h_1 + h_2) \sqrt{x} = \left(\sqrt{400 - x} + \sqrt{2304 - x}\right) \sqrt{x}$. Để tìm max, xét $S^2 = x \left(\sqrt{400 - x} + \sqrt{2304 - x}\right)^2$.
Lấy đạo hàm $S^2$ theo $x$, đặt bằng $0$ và đơn giản hóa, ta được điều kiện $\sqrt{(400 - x)(2304 - x)} = x$, tức $(400 - x)(2304 - x) = x^2$ $\Rightarrow 400 \cdot 2304 - (400 + 2304) x = 0$ $\Rightarrow x = \dfrac{400 \cdot 2304}{400 + 2304} = \dfrac{921600}{2704}$.
Khi đó $h_1 = \dfrac{400}{\sqrt{2704}}$, $h_2 = \dfrac{2304}{\sqrt{2704}}$, suy ra $d_1 = h_1 + h_2 = \sqrt{2704} = 52$ và $d_2 = 2 \sqrt{x} = \dfrac{2 \cdot 20 \cdot 48}{\sqrt{2704}} = \dfrac{1920}{52}$.
Tổng độ dài: $d_1 + d_2 = \dfrac{2704 + 1920}{\sqrt{2704}} = \dfrac{(20 + 48)^2}{\sqrt{2704}} \approx 89$ ($cm$).