$\bullet$ $\log_3(a_1) + \log_3(a_2) + \log_3(a_3)$ là một số nguyên.
$\bullet$ $a_1 + a_6 = a_2 + a_5 = a_3 + a_4$.
Điều kiện (i): $\log_3(a_1 a_2 a_3) \in \mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow a_1 a_2 a_3 = 3^k$ với $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$. Do $a_i \in S$ phân biệt và tích là lũy thừa của $3$, mỗi $a_i$ phải là lũy thừa của $3$ (vì các thừa số nguyên tố khác $3$ không thể tiêu được). Các lũy thừa của $3$ trong $S$: $\{1; 3; 9\}$ (do $3^3 = 27 > 15$). Vậy $\{a_1, a_2, a_3\} = \{1; 3; 9\}$ (phải đúng ba phần tử này).
Điều kiện (ii): đặt $T = a_1 + a_6 = a_2 + a_5 = a_3 + a_4$. Khi đó $a_4 = T - a_3$, $a_5 = T - a_2$, $a_6 = T - a_1$ $\Rightarrow$ ba số $a_4, a_5, a_6$ là $T - 1, T - 3, T - 9$ (theo thứ tự nào đó).
Yêu cầu: $a_4, a_5, a_6 \in S$, phân biệt, và $\notin \{1; 3; 9\}$. Quét $T$ trong $[10; 16]$ (để $T - 9 \ge 1$ và $T - 1 \le 15$): các giá trị hợp lệ là $T=11$, $T=13$, $T=14$, $T=15$, $T=16$ (loại $T = 10$ vì $T - 9 = 1$ trùng, loại $T = 12$ vì $T - 9 = 3$ trùng).
Mỗi giá trị $T$ hợp lệ cho $1$ tập $\{a_4, a_5, a_6\}$. Với mỗi hoán vị của $(a_1, a_2, a_3)$ trên $\{1, 3, 9\}$ ($3! = 6$ hoán vị), thứ tự của $(a_4, a_5, a_6)$ được xác định duy nhất theo công thức $a_{7-i} = T - a_i$.
Tổng số dãy: $|\{T\}| \cdot 3! = 5 \cdot 6 = 30$.