Một Pikachu khám phá "mê cung kỳ lạ" trong mặt phẳng $Oxy$, xuất phát từ $O$ và bước đi vô hạn bước theo quy luật sau:
— Bước đầu tiên: dài $26$ đơn vị theo tia $Ox$.
— Các bước sau: luôn rẽ trái $90^\circ$ so với bước liền trước và dài bằng $\dfrac{5}{12}$ bước liền trước.
Biết rằng, với hành trình như trên thì Pikachu sẽ tiến đến điểm $M$. Độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu đơn vị?
— Bước đầu tiên: dài $26$ đơn vị theo tia $Ox$.
— Các bước sau: luôn rẽ trái $90^\circ$ so với bước liền trước và dài bằng $\dfrac{5}{12}$ bước liền trước.
Biết rằng, với hành trình như trên thì Pikachu sẽ tiến đến điểm $M$. Độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu đơn vị?
ĐÁP ÁN
2
4
LỜI GIẢI
Biểu diễn các bước trong mặt phẳng phức: bước thứ $n$ có hướng quay $90^\circ$ trái $n - 1$ lần (tức nhân với $i^{n-1}$), độ dài $L \cdot r^{n-1}$ (với $r = \dfrac{5}{12}$).
Vị trí của $M$ là tổng các bước (cấp số nhân phức): $z_M = \sum_{n=0}^{\infty} L (i r)^n = \dfrac{L}{1 - ir}$ (do $|ir| = r < 1$, chuỗi hội tụ).
Nhân tử và mẫu cho liên hợp $(1 + ir)$: $z_M = \dfrac{L (1 + ir)}{1 + r^2} = \dfrac{L}{1 + r^2} + i \dfrac{L r}{1 + r^2}$. Tọa độ $M$: $\left(\dfrac{288}{13};\, \dfrac{120}{13}\right)$.
$|OM| = |z_M| = \dfrac{L}{|1 - ir|} = \dfrac{L}{\sqrt{1 + r^2}} = \dfrac{26}{\sqrt{\dfrac{169}{144}}} = 24$ đơn vị.
59% trả lời đúng
111 đúng · 78 sai