Xét thị trường tấm pin năng lượng mặt trời thế hệ mới với:
$p = D(x) = 4 - 0{,}2 x$ (triệu đồng/tấm); $p = S(x) = 0{,}4 + 0{,}1 x + \dfrac{1}{m} x^2$ (triệu đồng/tấm), trong đó $x$ là sản lượng (đơn vị: nghìn sản phẩm), $p$ là giá bán (triệu đồng/sản phẩm) và $m > 0$ là chỉ số hiệu quả công nghệ. Biết rằng tại trạng thái cân bằng thị trường, thặng dư sản xuất đạt được là $4{,}2$ tỉ đồng. Tại thời điểm này, thặng dư tiêu dùng là bao nhiêu tỉ đồng?
Điều kiện cân bằng: $D(x_0) = S(x_0) \Leftrightarrow 4 - 0{,}2 x_0 = 0{,}4 + 0{,}1 x_0 + \dfrac{1}{m} x_0^2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{m} = \dfrac{3{,}6 - 0{,}3 x_0}{x_0^2}$ (1).
Tính thặng dư sản xuất $PS$ theo $x_0$: $PS = \int_0^{x_0} (y_0 - S(x))\,dx = \int_0^{x_0}\!\left((3{,}6 - 0{,}2 x_0) - (0{,}4 + 0{,}1 x + \tfrac{1}{m} x^2)\right) dx$. Khai triển và sub (1) cho $\dfrac{1}{m}$, rút gọn: $PS = 2{,}4 x_0 - 0{,}15 x_0^2$.
Giải PT $PS = 4{,}2$: $2{,}4 x_0 - 0{,}15 x_0^2 = 4{,}2 \Leftrightarrow x_0^2 - 16 x_0 + 28 = 0 \Leftrightarrow x_0 = 2$ hoặc $x_0 = 14$. Với $x_0 = 14$: $m = 196/(3{,}6 - 4{,}2) < 0$ — loại (do $m > 0$). Vậy $x_0 = 2$, $y_0 = 3{,}6$.
Tính thặng dư tiêu dùng: $CS = \int_0^{x_0} (D(x) - y_0)\,dx = \int_0^2 (4 - 0{,}2 x - 3{,}6)\,dx = \int_0^2 (0{,}4 - 0{,}2 x)\,dx = [0{,}4 x - 0{,}1 x^2]_0^2 = 0{,}8 - 0{,}4 = 0{,}4$ (tỉ đồng).