Một chiếc bình thuỷ tinh có lòng là khối tròn xoay sinh bởi parabol $y = \dfrac{x^2}{2}$ (đơn vị: cm) khi quay quanh trục $Oy$. Người ta thả vào đáy bình một viên bi hình cầu tiếp xúc đáy bình và tiếp xúc thành bình tại điểm $M$ cách trục $Ox$ một khoảng $1$ cm, rồi đổ nước vào bình đến độ cao $h = 6$ cm (so với đáy). Tính thể tích phần nước trong bình (đơn vị: cm³). (Làm tròn đến hàng phần mười)
ĐÁP ÁN
7
9
,
6
LỜI GIẢI
Bước 1 — Bán kính viên bi. Tâm bi nằm trên $Oy$ tại $(0; R)$ (vì bi tiếp xúc đáy). Khoảng cách từ tâm tới điểm $(t; \tfrac{t^2}{2})$ trên parabol đạt cực tiểu (tiếp điểm) khi $\tfrac{t^2}{2} = R - 1$, tức tiếp điểm $M$ có tung độ $y_M = R - 1$. Theo đề $y_M = 1$ ⇒ $R = 1 + 1 = 2$ cm.
Bước 2 — Thể tích vỏ bình tới độ cao $h$. Quay quanh $Oy$: $x^2 = 2y$ nên $V_{vỏ} = \pi\displaystyle\int_0^{6} x^2\,dy = \pi\int_0^{6} 2y\,dy = \pi\,y^2\Big|_0^{6} = 36\pi$ (cm³).
Bước 3 — Thể tích viên bi. $V_{cầu} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 2^3 = \dfrac{32}{3}\pi$ (cm³).
Kết luận. Thể tích nước $= V_{vỏ} - V_{cầu} = \left(36 - \dfrac{32}{3}\right)\pi \approx 79,6$ cm³.
59% trả lời đúng
246 đúng · 173 sai