Gọi $\vec{d} = (d_1; d_2; d_3)$ là vectơ chỉ phương đơn vị của tia laser ($|\vec{d}| = 1$). Góc giữa $\vec{d}$ và $\vec{Ox} = (1; 0; 0)$ là $45^\circ$ ⇒ $d_1 = \pm \cos 45^\circ$. Vì tia hướng từ $A$ về $(Oyz)$ (giảm hoành độ): $d_1 = -\cos 45^\circ$. Suy ra $d_2^2 + d_3^2 = 1 - \cos^2 45^\circ = \sin^2 45^\circ$.
Tham số tia: $(x; y; z) = (6; 3; 4) + t \cdot \vec{d}$ với $t \ge 0$. Tại $M$ (giao với $(Oyz)$): $x = 0 \Leftrightarrow 6 - t \cos 45^\circ = 0 \Leftrightarrow t_M = \dfrac{6}{\cos 45^\circ}$.
$y_M = 3 + t_M \cdot d_2$, $z_M = 4 + t_M \cdot d_3$. $|OM|^2 = y_M^2 + z_M^2 = 3^2 + 4^2 + 2 t_M(3 d_2 + 4 d_3) + t_M^2(d_2^2 + d_3^2)$.
Áp dụng Cauchy-Schwarz: $|3 d_2 + 4 d_3| \le \sqrt{3^2 + 4^2} \cdot \sqrt{d_2^2 + d_3^2} = \sqrt{25} \cdot \sin 45^\circ = 5 \cdot \sin 45^\circ$, dấu '=' khi $\vec{(d_2, d_3)}$ cùng hướng $\vec{(3, 4)}$. Suy ra $|OM|^2_{\max} = (t_M \sin 45^\circ + 5)^2 = (6 \tan 45^\circ + 5)^2$.
$|OM|_{\max} = 6 \tan 45^\circ + 5 = 6 + 5 = 11$ (m).